– Рассел обнаружил непоследовательность в самом способе, каким Фреге выделял в материале различные множества. Проблему составляли множества, каждое из которых не являлось элементом самого себя. – Это как? – Когда я посещал лекции Рассела в Кембридже, он иллюстрировал эту проблему парадоксом с венецианским брадобреем. Слышал о таком? – Нет. – Брадобрей бреет в своем квартале всех, кто не бреется сам. Вопрос: кто бреет брадобрея? – И кто же? – В том-то вся и штука… Ведь если брадобрей не бреется сам, то его должен брить брадобрей, то есть он сам. Но если он бреется сам, то должен относиться к множеству тех, кто бреется сам, а не тех, кого бреет брадобрей. Стоит задуматься над этим как следует, и парадокс вырастает в фундаментальную логическую проблему. – Да, похоже на то… – Корелл смутился и сделал хороший глоток пива. – А если переложить проблему в цифры, перед нами будет на первый взгляд вполне корректное математическое высказывание. Тем не менее ведущее в тупик, – сделал вывод Краузе. – Ну… – Вырисовывается нечто похожее на бессмысленную головоломку, но это не так. Математики имеют железное преимущество перед другими учеными: их мир замкнут, их истина на кончике пера. Им нет необходимости поднимать жалюзи и выглядывать на улицу. Достаточно немного поколдовать с цифрами. Но теперь вдруг обнаружился целый класс тождеств, противоречащих самим себе. Если они и соответствуют некой реальности, то иррациональной. Самое время вспомнить Алису в Стране чудес. – Звучит угрожающе. – Это я нагнетаю страсти. Мы, логики, любим это делать, иначе кто же нас станет слушать? Но правда состояла в том, что контуры математических истин становились все более расплывчаты. Истинное не всегда оказывалось истинным, а ложное – ложным. Разумеется, не обошлось без оптимистов. В их числе был Бертран Рассел. В «Principia Mathematica»[34], которую они написали вместе с Уайтхедом, доказывается сводимость математики к логике. Рассел ввел несколько аксиом и основных математических понятий, разделив все поле деятельности математики на множество небольших участков, в пределах каждого из которых не обнаруживается противоречий, и, таким образом, вернул математикам прежнюю уверенность в своих силах. Выдающийся ученый нашего времени Давид Гилберт[35] был уверен, что Расселу удалось реабилитировать математику как науку. Иное было просто невозможно. «Где еще нам искать истину, если нас обманет математика? – писал Гилберт. – Никто не изгонит нас из канторовского рая[36]». – Изгнать из рая? Корелл допил остатки эля. – Гилберт имел в виду математический рай, – объяснил Краузе. – Он называл себя формалистом. Возможно, математике не под силу описать физическую действительность. Но до тех пор, пока живет по собственным законам, она словно окружена некой водонепроницаемой оболочкой. Система самодостаточна, если только отвечает трем условиям: непротиворечивости, полноты и определенности. – И что это значит? – Под непротиворечивостью понимается отсутствие противоречий внутри системы. Под полнотой – что любое истинное высказывание должно быть также истинным согласно внутренним правилам системы. Определенность означает наличие метода, позволяющего определить в отношении любого высказывания – каково бы оно ни было, – возможно ли его разрешение в рамках системы. Гилберт поставил вопрос о соответствии математики этим требованиям. Он не сомневался, что проблемы лежат за пределами математики. Потому что в ее границах нет и не может быть никакого Ignorabimus[37]. – И чем все кончилось? – Полным провалом. Его рай оказался потерян для нас навсегда. – Потерянный рай, – повторил Корелл. – Есть такой парень, Курт Гёдель, – продолжал Краузе. – Он австриец, как и я. Или чех, это как посмотреть. Я встречался с ним в Принстоне, когда читал там лекции. Или встречался – слишком громкое слово… Во всяком случае, я его видел. Гёдель – одиночка. Примечательный тип – тощий, замкнутый параноик. И ипохондрик к тому же, как я слышал. Он почти не ест из опасения отравиться. И у него есть один-единственный друг. Угадай кто? – Бастер Китон?[38] – улыбнулся Корелл. – Нет, Эйнштейн. Они с Гёделем не разлей вода. В Принстоне я наблюдал трогательную картину: Гёдель и Эйнштейн часами прогуливались по двору, заложив руки за спину, и беседовали. Эйнштейн – полноватый и добродушный, Гёдель – вытянутый и строгий. «Лорел и Харди»[39] – так их называли. Всех удивляло, как Эйнштейн – человек общительный и даже несколько легкомысленный – может общаться с таким мизантропом. На это Эйнштейн отвечал, что в Принстоне у него никого нет, кроме Гёделя, – или что-то вроде того… Что он имел в виду, стало ясно, когда в тридцать первом году Гёдель опубликовал свою теорему неполноты, чем потряс все математическое сообщество. До той степени, по крайней мере, до какой сообщество смогло ее понять. Того, кому под силу раскусить этот орешек, теорема поражает ясностью и простотой. И она, конечно, тоже основывается на парадоксе лжеца. – Тоже? – Этот парадокс что Экскалибур[40], он пронзает все. В простых и в высшей степени элегантных рассуждениях Гёдель доказал, что система, характеризующаяся полнотой, не может быть консистентной. Либо одно, либо другое. Возьмем, к примеру, высказывание: «Это положение нельзя доказать». Если мы его докажем, то впадем в противоречие. Высказывание отрицает само себя. Если доказать нельзя, система характеризуется неполнотой. Потому что в этом случае существуют положения, которые нельзя доказать, хотя они и сформулированы в полном соответствии с правилами системы. – Понимаю, – Корелл кивнул. Он и в самом деле готов был поверить в это. Хотя, вполне возможно, его уверенность по большей части объяснялась количеством выпитого пива. – Гёдель развеял грезы Гилберта, – продолжал Краузе. – Он сорвал пелену с наших глаз. Доказал, что ни математика, ни логика не избавят нас от власти иррационального. Каким бы совершенным ни казался мир, нам не уйти от противоречий. Можно сказать, противоречия – это сама жизнь. – Как говорил мой отец, человек без противоречий не заслуживает доверия. – Твой отец был мудрец. – Не во всем. – Не во всем?.. Здесь он, по крайней мере, прав. Противоречие – нерв искусства. Почему китчевые подделки так ужасны? Они слишком однозначны, а значит, карикатурны. Но если для Гилберта теорема Гёделя знаменовала крах всех надежд и упований, для Алана она стала чем-то вроде девиза. Основы математики поколеблены – тем увлекательнее ступить на шаткую почву. Время переворотов было самое подходящее, в этом смысле Тьюрингу повезло. Эйнштейн подкорректировал ньютоновскую картину мира. Нильс Бор и компания открыла кванты. А потом повились Гейзенберг и принцип неопределенности, и выяснилось, что рассчитать траекторию движения элементарной частицы – все равно что пытаться предсказать, куда в следующий момент качнет пьяного в стельку. Вселенная стала непредсказуемой, и таковой она больше нравилась Алану. Неопределенность была для него что воздух. В Королевском колледже он только и говорил что о Гёделе. Гёдель то, Гёдель сё… И Гёдель, конечно, был героем, но… Он ответил не на все вопросы Гилберта. Оставалось решить, что там с определенностью. Краузе вздохнул и глотнул пива. – Ведь Гилберт, – продолжал он, – призвал лучшие умы эпохи сформулировать метод, который позволял бы определить в отношении любой математической проблемы, разрешима ли она. Многие пытались реабилитировать таким образом математику. Проблема разрешимости – так ее назвали. Или, если по-немецки, – Entscheidungsproblem. Макс Ньюман[41] – тот самый Ньюман, что сейчас работает над цифровыми машинами в Манчестере, – прочел на эту тему курс лекций. Думаю, тем самым он хотел сподвигнуть хоть кого-нибудь взяться за эту задачу. Без особой надежды на успех, впрочем. Проблема разрешимости представлялась неразрешимой. Попробуй-ка сформулируй такой метод, годный для любого математического высказывания за всю историю науки! Задача представлялась слишком монументальной. Это все равно что мечтать о вечном двигателе. Но Ньюман… В ходе рассуждений он как-то обмолвился, что, возможно, проблема решится чисто механически. – Механически? – переспросил Корелл. – Он выразился фигурально, в переносном смысле. Механически – то есть самоочевидным, формальным способом. Но среди слушателей оказался один молодой человек, который имел обыкновение любое высказывание трактовать буквально. – Тьюринг, – догадался Леонард. Краузе кивнул. – Алан всегда стремился следовать буквальной трактовке любого высказывания. Так, когда ему однажды заметили, что в паспорте не хватает его подписи, Алан ответил следующее: «Но мне сказали, что в нем ничего нельзя писать». Подобную упертость многие понимали как отсутствие фантазии. Но в действительности дело обстояло с точностью до наоборот. Понимая слова в их прямом значении, Алан нередко оказывался на шаг впереди остальных. Так оно получилось и на этот раз. Краузе замолчал. Корелл перегнулся через стол: – Ну, рассказывай же… Глава 20 Рассказ стопорился, и не только по причине усложнения материала. Оба они – и слушатель, и рассказчик – успели порядком опьянеть. Но Корелл уловил, что Тьюринг был молод, когда услышал слово «механически» не в том контексте, который был предусмотрен его изначальным значением. Судя по всему, Алану было двадцать с небольшим. Как и Гёделю, как и большинству математиков, когда им удается выдумать нечто новое и великое. Но, в отличие от большинства своих коллег, Тьюринг почти не интересовался историей своей науки и совершенно не был настроен учиться на чужих ошибках. Вот уже много раз, особенно в детском возрасте, он решал классические математические задачи, уже решенные до него другими, иногда сотни лет назад. Алан не имел потребности обсуждать с кем-либо свои идеи и предпочитал идти собственным путем. Он был полон сил, уверен в себе и смотрел на мир собственными глазами. – Вообще-то, слово «механический» никогда не имело в Кембридже тоскливого привкуса. Даже после крушения вселенной Ньютона, оставаясь памятником старого, доэйнштейновского порядка. Но для Алана Тьюринга оно было сама поэзия… Алана оценили в Кембридже, и это было ему в новинку, – продолжал Краузе. – Ведь в школе он был никто… А в «Королевском» ему положили три сотни фунтов в год, предоставили отдельную комнату и возможность обедать в обществе самых видных академиков. Но главное – Тьюринг получил достаточно свободы, чтобы заниматься тем, чем хочет. – Что же это было? – Ну… для начала он хотел попробовать себя в квантовой физике. Интересовала его и теория вероятностей. Но он так ничего и не сделал ни там, ни там, потому что не мог избавиться от того, что говорил Макс Ньюман. – То есть от идеи найти механический метод… – При помощи которого можно было бы определить, решаема ли та или иная математическая проблема. – Звучит впечатляюще. – Это бессмысленно. Математических истин, которые нельзя ни опровергнуть, ни доказать, пруд пруди. Взять хотя бы третью теорему Ферма. Или положение Гольбаха о том, что всякое четное число является суммой простых чисел. Как может бездушный механизм справиться с задачей, о которую сломали зубы лучшие математические умы человечества? Научный мир буквально покатывался со смеху. Харди[42] – небожитель Харди! – писал, что такое может взбрести в голову разве что конченому идиоту. Математик, решающий задачи при помощи чудо-машины! Да нынешняя математика полна неразрешимых противоречий. Это мечта, чудесный сон… – Тем не менее Тьюринг мечтал, – перебил собеседника Корелл. – Мечтал, – согласился тот. – Потому что не был математиком в полном смысле слова. Он стоял в стороне от всего этого и мог позволить себе думать не так категорично, как Харди. Он не утратил наивности, а она, в сочетании с гениальностью, – гремучая смесь. – Но почему машины? – недоумевал Корелл. – Бог их знает… – Фредрик Краузе вздохнул. – История любой научной идеи – тайна, покрытая мраком. Почему нам в голову западают те или иные слова или фразы? Я говорил, что слово «механический» для Алана было исполнено настоящей поэзии. Думаю, все началось с одной книжки, которую ему подарили в детстве, – популярная детская энциклопедия, автор которой на пальцах объяснял юным читателям устройство мира и человеческого организма. Он сравнил человеческое тело со сложным механизмом – метафора, призванная показать слаженность работы наших органов. Но Алан воспринял ее буквально – или почти буквально. Мозг как машина – эта идея не могла ему не понравиться. Она была конкретна и доказуема – в отличие от бесполезных спекуляций на тему души. – Но он говорил об электронном мозге, – напомнил Корелл. – Позже – да. Но в тридцатые годы Алан не имел дела ни с электрикой, ни с электроникой. Разве в теоретическом плане. Возможно, он знал уже тогда, что мозг приводится в действие электрическими импульсами. Но они всего лишь передают сигналы от одного места к другому. Они примитивны и однодумны, – в том смысле, что всегда следуют по одним и тем же маршрутам. Разве их было бы достаточно, чтобы написать «Гамлета» или «Аппассионату»… или, к примеру, разработать теорию относительности? Но Алан рано понял, что в основе этой сложной системы лежат всего два режима, две логические константы. Он умел разглядеть в сложном простое. – Боюсь, я не совсем понимаю, – смутился Леонард. – В сущности, здесь нет ничего сложного, – ответил Краузе. – Еще Платон в «Софисте» заметил, что для общения нам было бы достаточно двух слов – «да» и «нет». Ты когда-нибудь играл в «двадцать вопросов»? – Вроде да. – Тогда ты представляешь себе, как много можно сообщить и опровергнуть, задавая вопросы, на которые можно ответить либо «да», либо «нет». – Ну да… – задумчиво протянул Корелл. – А теперь представь себе, что темп игры ускоряется, а вопросы и ответы выстраиваются в длинные логические цепочки… Представляешь? – Представляю. Леонард был не на шутку впечатлен, но не подавал виду. – Собственно, эта мысль не нова, – продолжал Краузе. – Идея разбить процесс мышления на элементарные «кирпичики» появилась не одно столетие тому назад. В семнадцатом веке об этом думал Лейбниц. Но никому до Алана даже в самых дерзких мечтах не приходило сконструировать машину, которая охватывала бы все возможные математические высказывания; не только те, что есть, но и те, что появятся в будущем. Думаю, Алан рано понял основополагающие принципы работы такого механизма – способность читать в разных режимах и наличие памяти, то есть способности складировать информацию. Не могу сказать, какой именно представлялась Алану эта машина. Он ни с кем ее не обсуждал. Но в период увлеченности ею походил на сумасшедшего… Вообще, Алан был не очень хорошим бегуном, но отличался упорством и выносливостью. Иногда добегал до самой реки, то есть до Или. В один из дней начала лета тридцать пятого года он из конца в конец пробежал один луг в Гранчестере… Ты не увлекаешься ничем подобным? Нет? Но тебе наверняка известно, как струится по жилам кровь, когда сбавляешь темп после моциона на пределе сил. Иногда мне кажется, что таким образом можно перебороть любую напасть, будь то страх или переутомление… Тебе ведь знакомо это состояние абсолютной ясности, будто после ледяной ванны? Сразу все становится на свои места. Все приходит в порядок, как по мановению волшебной палочки. Что уж говорить об Алане, в голове которого крутилось тогда столько вопросов… Ну так вот… На этом лугу что-то произошло. Мы можем предположить, что в просвете между облаками показалось солнце… Или же Алан упал в траву и совершенно забыл, кто он такой и где находится… Это было как свет… сноп света – избитое клише, но как иначе описать внезапное озарение? Слова человеческого языка слишком грубы для этого. Можно вспомнить ранних христиан с их видениями божественного света. Алан, во всяком случае, рассказывал, что пережил мгновения бесконечного счастья. Он уже не мог вспомнить, что было сначала, счастье или озарение… Быть может, на тот момент он не отделял одно от другого. Так или иначе, в тот момент Алану пришел ответ на третий из гилбертовских вопросов, об определенности.